Antes de tudo, fiz uma alteração no nome da categoria “Programação” para “Computação”, tendo em vista que o escopo da computação é mais abrangente para tópicos como o deste post, que não tratam diretamente de programação de códigos. É uma mudança semântica que busca evidenciar a gama variada de conteúdos que quero trazer para este blog.

Neste momento, estou no primeiro período, mas com uma bagagem inicial em álgebra linear e outras disciplinas. Sendo assim, pensei: “por que não cursar computação quântica?” Agora, aqui estou eu tentando desvendar a complexidade por trás do universo quântico voltado para a computação.

Diante disso, o conteúdo aqui abordado tem o intuito de explorar essa parte mais fundamentalmente teórica e matemática, relacionando a definição de qubits e suas propriedades.

Sumário

• Definição de Qubit
• Estados do Qubit
• Medição
• Esfera de Bloch

Definição de Qubit

Vamos tomar como base a definição: “Um bit quântico é um vetor unitário complexo bidimensional.” Agora nos perguntamos: o que isso significa?

Dentro da quântica, utilizamos essa notação diferenciada para vetores, mas é apenas uma forma de representar e lê-se “ket v”.

Temos que o qubit (bit quântico) é um vetor com norma (comprimento) igual a 1 (unitário), onde seus componentes (coordenadas no espaço) são números complexos (números formados por uma parte real e uma imaginária), e esse vetor vive em duas dimensões (bidimensional), que correspondem aos seus dois estados básicos:

O conjunto desses dois estados forma uma base ortonormal denominada base computacional, na qual qualquer outro estado do qubit pode ser escrito como uma combinação desses dois estados.

Estados do Qubit

Com esse conceito inicial, vamos entender como se relacionam esses estados básicos. Em comparação com a computação clássica, temos que um bit só pode estar no estado 0 ou 1. Entretanto, quando falamos de computação quântica, existe uma flexibilidade maior, na qual o qubit pode estar em um dos estados básicos, mas também pode estar em uma superposição dos dois estados.

Isso pode soar estranho, mas, em analogia, é como se uma moeda estivesse girando no ar; enquanto ela está em movimento, não é definido seu “estado” em cara ou coroa, de certa forma ela está em ambos ao mesmo tempo. Só quando você interrompe seu movimento e a “mede”, é determinado o seu “estado” em um dos dois estados básicos.

E para explicitar o estado de um qubit, utilizamos uma notação diferente da anterior, mas que representa a mesma coisa:

Demonstrando a igualdade com a notação anterior:

Em síntese, temos que os componentes complexos do vetor representam os coeficientes de cada estado básico, respectivamente o \(\alpha\) para o estado ket 0 e o \(\beta\) para o estado ket 1.

Medição

Não conseguimos definir o estado de um qubit seguindo a notação anterior; lembre-se da ideia da moeda girando. Então, para obter a informação, precisamos realizar uma medição, analogamente parar a moeda.

Para a realização dessa medição, escolhemos uma base, comumente a computacional, e escrevemos o estado como uma combinação linear dos elementos da base:

Onde os termos \(\alpha \ e \ \beta\) são os coeficientes de amplitude (números complexos), pesos que informam o quanto do estado ket 0 e o quanto do estado ket 1 estão presentes na composição do estado de ket v.

Aqui entra a importância da norma do qubit ser 1:

• A probabilidade do qubit ser medido no estado ket 0 é dada por: \(|\alpha^2|\)

• A probabilidade do qubit ser medido no estado ket 1 é dada por: \(|\beta^2|\)

A norma desse vetor é calculada:

E a condição dessa norma sempre igual a 1 mostra que:

A norma é calculada utilizando os módulos dos componentes para que o cálculo seja feito com as partes reais dos números complexos.

Em resumo, como só existem duas possibilidades para o estado do qubit quando ele é medido, a soma de todas as probabilidades possíveis precisa ser 100% (igual a 1).

É um princípio fundamental: você sempre encontrará o qubit em um dos estados da base computacional quando o medir.

Após essa medição, o bit quântico irá colapsar para o resultado da medição, ou seja, qualquer medição posterior na mesma base gerará o mesmo resultado.

Esfera de Bloch

Na matemática, a base computacional são os eixos do seu espaço de duas dimensões, semelhantes aos eixos x e y de um plano cartesiano. Qualquer outro estado do qubit pode ser descrito como um vetor nesse plano, que é a combinação desses dois eixos.

        |0⟩
          ●  (polo norte)
          |
          |
 |−⟩ ———— ○ ————|+⟩     (equador)
          |
          |
          ●  (polo sul)
         |1⟩

Visualizando dessa forma, percebe-se que os coeficientes de amplitude podem representar “coordenadas” que determinam a posição do qubit na esfera.

Importante entender que essas amplitudes não são as probabilidades em si; essa chance de encontrar o qubit em um dos estados básicos só é obtida quando se faz a medição. Enquanto isso não acontece, ele existe na superposição de estados, em algum ponto na superfície da esfera.

Por isso, também dizemos que seu estado é definido: se você conhece \(\alpha\) e \(\beta\), você conhece o seu estado ou posição na esfera. Contudo, como esses valores são complexos, não são grandezas que podemos medir diretamente por um detector.

O estado do qubit na superfície da esfera é definido por dois ângulos:
\(\theta\) (ângulo polar - base computacional)
\(\phi\) (ângulo azimutal - base de Hadamard)

e os coeficientes estão relacionados:

Base de Hadamard:
\(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) \(\quad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\)

Os detectores de medição fazem a projeção do qubit na base da medição, ou seja, medir na base computacional é o mesmo que visualizar a posição do qubit apenas a partir de cima e de baixo, resultando em um valor binário, 0 ou 1, não os valores dos ângulos.

Sendo assim, mudar a base não altera o valor do qubit, mas sim a descrição geométrica que se tem sobre ele, relacionada aos eixos definidos pela base escolhida.