Nesse post, será realizado um apanhado de saberes básicos e muito úteis para o entendimento do universo da Computação Quântica.

Sumário

• Fundamentos Álgebricos
• Fase Global
• Fase Local
• Mudança de Base
• Estado Quântico polar

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Fundamentos Álgebricos

Começando dos fundamentos álgebricos, temos uma série de conceitos essencias para a construção de ideias da quântica, vou destrinchar alguns deles:

• Notação de Dirac (bra-ket)

É uma forma de representar vetores que tem implicações nas representações de produtos internos e produtos tensoriais.

- Ket: \(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \equiv \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) é a representação básica do vetor estado e é expressa por um vetor coluna.

- Bra: \(\langle\psi|\) é definido como conjugado transposto do ket
(\((|\psi\rangle)^\dagger\)).

Essa operação, é a conjugação hermitiana (indicada por
\(\dagger\) - dagger), envolvendo:

1. Transposição: Vetor coluna (ket) se torna um vetor linha.
2. Conjugação Complexa: Cada elemento do vetor é substituído por seu conjugado complexo, ou seja: \(z = a + ib\), o conjugado é \(z^* = a - ib\)

Se os coeficientes forem valores reais, a conjugação complexa não muda nada, nesse caso ocorre apenas a transposição.

• Produto interno

Sua utilização acontece na verificação de ortogonalidade de estados quânticos, no cálculo de amplitudes de probabilidades e de normalização de vetores.

E sua descrição acontece como um “sanduíche” de um bra e um ket, que simplifica a forma matricial:

- \(\langle\phi|\psi\rangle = (\alpha_1^* \beta_1^*)\begin{pmatrix} \alpha_2^* \\ \beta_2^* \end{pmatrix} = \alpha_1^*\alpha_2^* + \beta_1^*\beta_2^*\)

A respeito da conjugação hermitiana, ela assegura a propriedade fundamental do produto interno, onde seu resultado é sempre um número real positivo, o que garante que norma de um vetor seja sempre um valor real positivo, requisito para que as amplitudes de probabilidade sejam bem definidas.

\[||\psi\rangle| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}\]

• Produto tensorial

Esse último conceito essencial, é importante para a simplificação de fórmulas de estados quânticos.

O produto tensorial (Produto de Kron) é uma operação que combina suas representações para formar um vetor de dimensão maior. Para o estado \(|00\rangle\), o produto tensorial é calculado da seguinte forma:

Em resumo, essa matriz coluna de dimensão 4x1, representa o estado de dois qubits no estado ket 0.

O aumento linear do número de qubits, causa um aumento exponencial na capacidade de representação do sistema (\(2^{nºqubits}\)).

Isso é importante, pois podemos representar todos os estados de dois qubits dessa maneira, assim expressando qualquer estado de dois qubits como uma combinação linear deles:

\[|\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle\]

Na prática a fórmula original (mais verbosa) seria:

As amplitudes de cada produto tensorial, determinam a probabilidade dos dois qubits colapsarem para os valores dessa base, ou seja, \(\alpha_{00}\) determina a probabilidade do qubit 1 e do qubit 2 colapsar para o estado \(|0\rangle\).

Portanto pela condição de normalização, temos que \(|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2 + |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2 = 1.\)

Por fim, o produto tensorial é distributivo em relação a soma de vetores, ou seja, o produto entre a soma de vetores, é a soma dos produtos tensoriais individuais:

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Fase Global

Dois vetores que distinguem apenas por um fator de fase global representam o mesmo estado físico.

Fase Global(\(e^{i\theta}\)): Um fator de multiplicação complexo de módulo 1, aplicado a um vetor de estado como um todo, que equivale a \(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\).

- \(|\psi\rangle\) e \(e^{i\theta}|\psi\rangle\) representam o mesmo estado quântico.

Isso ocorre porque a probabilidade de medição é a mesma para ambos os vetores, exemplo:

- Estado 1 (s/ fase global): \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\)

- Estado 2 (\(e^{i\phi}\) ao estado anterior): \(|\psi'\rangle = \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}}|1\rangle\)

A medição para o primeiro estado, se baseia no módulo ao quadrado das amplitutes de cada termo, no caso \(p(0) = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = \frac{1}{2}\) e o mesmo para p(1).

Já para o segundo estado, temos que \(p'(0) = |\frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}}|^2\), contudo a magnitude do

\[|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} = 1\]

Logo, como a magnitude da fase global sempre se cancela, ela não faz diferença na medição do estado.

Outra forma de visualizar isso é através do produto interno entre dois vetores de estado, que por si só retorna um número complexo, porém sua magnitude representa a superposição entre esses estados, podendo ser 0 para estados ortogonais (diferentes) ou 1 para estados idênticos.

- Utilizando os estados do exemplo anterior, primeiro precisando do bra \(|\psi'\rangle\)

\[|\psi'\rangle = e^{i\phi}|\psi\rangle\] \[\langle\psi'| = (e^{i\phi}|\psi\rangle)^\dagger = e^{-i\phi}\langle\psi|\]

Agora calculando o produto interno, temos:

\[\langle\psi'|\psi\rangle = e^{-i\phi}\langle\psi|\psi\rangle\] \[\langle\psi|\psi\rangle = ||\psi||^2 = 1\] \[\langle\psi'|\psi\rangle = e^{-i\phi} \cdot 1 = e^{-i\phi}\]

- Por fim, a magnitude desse resultado \(|e^{-i\phi}| = 1\), isso prova que eles representam o mesmo estado.

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Fase Local

Dois vetores que não se distinguem apenas por uma fase global, não representam o mesmo estado físico.

Fase Local: O segundo vetor de estado quântico não consegue ser um produto de uma fase global pelo primeiro vetor, pois ele possui uma fase local.

O método para demonstrar que dois vetores não correspondem ao mesmo estado, é o mesmo visto anteriormente, calcular a magnitude do produto interno entre eles.

Porém, em resumo, mesmo em situações onde a probabilidade de medição de dois vetores sejam iguais em uma base, isso não significa que os estados são os mesmos, para que isso seja verdade, essa probabilidade de medição precisa ser a mesma para todas as bases.

- Por exemplo, o \(|+\rangle \text{ e } |-\rangle\) são vetores que se diferenciam em suas fases locais, o que pode ser visualizado pelo produto interno entre eles, que resulta em 0, porém também é visto ao analisar que embora suas probabilidades de medição sejam as mesmas na base computacional, elas são diferentes (e determinísticas) na base de Hadamard.

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Mudança de Base

O estado de um qubit, pode pertencer a uma base arbitrária, por padrão a mais utilizada é a base computacional, também conhecida como base Z (pois corresponde as medições no eixo Z da esfera de Bloch), mas também temos a base de hadamard (base X), a base de fases (base Y)…

- Supondo que não conhecemos a base de fases \(|i\rangle\) e \(|-i\rangle\), temos a informação de que ela é uma base ortonormal, ou seja, ela precisa estar normalizada:

\[\langle i|i\rangle = 1\]

E também precisa ser ortogonal:

\[\langle -i|i\rangle = 0\]

Com isso em mente, temos uma construção básica para os vetores de estado dessa base:

\[|i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + i|1\rangle) \ \ |-i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - i|1\rangle)\]

Sendo assim, para realizar uma medição de um estado em outra base, é preciso fazer a projeção desse estado na nova base, por exemplo o \(|-\rangle\) na base de fases:

\[|-\rangle = \alpha|i\rangle + \beta|-i\rangle\] \[\alpha = \langle i|-\rangle = \frac{1 + i}{2} \quad \beta = \langle -i|-\rangle = \frac{1 - i}{2}\] \[|-\rangle = \frac{1 + i}{2}|i\rangle + \frac{1 - i}{2}|-i\rangle\]

A visualização do produto interno pode ser extensa, mas vou fazer de um dos termos para ilustrar:

\[\beta = \langle -i|-\rangle = (\frac{1}{\sqrt{2}}\langle0| + \frac{i}{\sqrt{2}}\langle1|) (\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)\]

Aplicando a distributiva e lembrando dos produtos internos dos estados da base computacional, obtemos:

\[\beta = (\frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{1}{2}) \cdot 0 + (\frac{i}{2}) \cdot 0 + (- \frac{i}{2}) \cdot 1\] \[\beta = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} = \frac{1 - i}{2}\]

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Estado Quântico Polar

Para finalizar, temos uma forma diferente de representar o estado quântico, reescrevendo \(\alpha\) e \(\beta\) usando ângulos.

Para manter a condição de normalização dessas amplitudes, usamos funções trigonométricas para expressar seus módulos em termos de um único ângulo \(\theta\).

Define-se \(\theta\) (onde \(0 \le \theta \le \pi\)) de modo que:

\[|\alpha| = \cos(\frac{\theta}{2}) \quad |\beta| = \sin(\frac{\theta}{2})\]

Substituindo essas definições na parte interna da expressão, obtemos a forma polar padrão do qubit:

\[|\psi\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle + e^{i\phi}\sin(\frac{\theta}{2})|1\rangle\]

Onde temos um fator \(e^{i\phi}\) que pode representar uma fase global ou uma fase relativa, a depender do estado que esteja sendo representado, além disso há a inclusão desse segundo ângulo \(\phi\), que faz a relação com a Esfera de Bloch:

• Ângulo Polar(\(\theta\)): Determina a amplitude relativa em relação ao eixo Z, ou seja, aos estados da base computacional.

• Ângulo Azimutal (\(\phi\)): Determina a amplitude relativa em relação ao eixo XY, ou seja, a base de Hadarmard e base de Fase, sendo a fase relativa entre a base computacional.