Com este post, pretendo concluir toda a parte mais básica a respeito da álgebra na Computação Quântica, para assim começarmos a ver aplicações, como o Protocolo BB84, alguns algoritmos quânticos e outros fenômenos quânticos, que utilizam toda essa base que vamos concluir hoje, com os operadores quânticos e, logo após, a finalização de operadores e emaranhamento.

Sumário

Autovetores e Autovalores

Esse tópico ainda compõe os conceitos essenciais de álgebra linear. Acredito que este será o último a ser pontuado isoladamente.

Comumente, na álgebra linear, as transformações lineares (representadas por matrizes) em um espaço vetorial (como o espaço \(\mathbb{C}^2\) utilizado na quântica) geralmente alteram a direção de um vetor.

Existem casos especiais em que a direção do vetor permanece inalterada após a transformação, e nesses casos dizemos ter um autovetor.

  • Autovetor: É um vetor não nulo que, quando submetido a uma transformação linear qualquer, não muda de direção. Ele é apenas escalado (esticado ou encolhido) por um fator, o que significa que o vetor resultante é um múltiplo escalar do vetor original.

  • Autovalor (\(\lambda\)): É o fator escalar que multiplica o autovetor. Ele representa a medida do esticamento/encolhimento do autovetor sofrida durante a transformação linear.

Exemplo:

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

Portanto, dizemos que o vetor \(|\psi\rangle\) é um autovetor dessa matriz e o autovalor (\(\lambda\)) é 4. Assim, chegamos à equação de autovalores:

\[A|\psi\rangle= \lambda|\psi\rangle\]

Operadores Hermitianos

Na quântica, qualquer grandeza que pode ser observada (como o estado de um qubit) é chamada de observável e é representada por um Operador Hermitiano (ou auto-adjunto).

Sendo assim, como as bases de medição são autovetores de um observável, ela é hermitiana para garantir que os resultados da medição sejam números reais.

Um operador ser hermitiano significa que ele é igual à sua transposta conjugada:

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 1-2i \\ 1+2i & -3 \end{pmatrix} $$ $$ A^\dagger =\begin{pmatrix} 4 & (1+2i)^* \\ (1-2i)^* & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1-2i \\ 1+2i & -3 \end{pmatrix} $$

Em resumo, é uma matriz que só possui valores imaginários fora da diagonal principal, e esses valores se diferenciam apenas pelos sinais imaginários (conjugados).

O principal papel do Operador Hermitiano é definir os resultados possíveis de uma medição:

  • O fato de ser um operador hermitiano garante que todos os seus autovalores (\(\lambda\)) são reais, sendo eles os únicos resultados físicos possíveis de uma medição.

  • O conjunto de autovetores forma a base de medição ortonormal. Quando um estado é medido, ele colapsa imediatamente para um dos autovetores (\(|0\rangle \text{ e } |1\rangle\) no caso do Operador Pauli Z).

Para medição de um qubit na base computacional, normalmente é utilizado o Operador Pauli Z.

\[Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]

Precisamente, qualquer operador que possua os mesmos autovetores que Z possui o mesmo resultado na medição.

A definição da base de medição do sistema são os autovetores desse operador Z:

- O autovetor correspondente a +1 é o estado \(|0\rangle\)

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = +1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

- O autovetor correspondente a -1 é o estado \(|1\rangle\)

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Convencionamos que obter o autovalor +1 significa que o qubit colapsou para o estado clássico (binário) “0”, e obter -1 significa o estado clássico “1”.

Por fim, a medição de um qubit em superposição retorna um autovalor como resultado (com probabilidade \(|\alpha|^2\) ou \(|\beta|^2\)), e o estado colapsa para o autovetor correspondente.

É, portanto, a aplicação prática da equação de autovalores, onde \(\lambda\) (autovalor) é o resultado, e o \(|\psi\rangle\) (autovetor) é o estado final.

Operadores Quânticos

Para que o sistema quântico preserve as regras de probabilidade (norma 1), ele deve ser governado por um Operador Unitário, sendo uma matriz complexa que tem como característica definidora a condição unitária:

  • Uma matriz \(U\) é unitária se satisfaz a seguinte relação:
\[U^{\dagger}U = UU^{\dagger} = I\]

Essa condição unitária implica duas consequências essenciais:

  • Conservação da Norma (Probabilidade)

Por essa conservação, a norma 1 do vetor é mantida após a aplicação do operador (porta). Isso significa que os operadores quânticos são isométricos, preservando as probabilidades.

  • Reversibilidade (Invertibilidade)

A condição unitária implica que a adjunta \(U^{\dagger}\) é a inversa de
\(U\), ou seja, \(U^{-1} = U^{\dagger}\).

Sendo assim, se você aplicar \(U\) a um estado, basta aplicar \(U^{\dagger}\) para retornar exatamente ao estado original:

\[U^{\dagger}(U|\psi\rangle) = (U^{\dagger}U)|\psi\rangle = I|\psi\rangle = |\psi\rangle\]

Todas as portas quânticas são reversíveis.

As portas quânticas são matrizes unitárias de dimensões \(2^n \times 2^n\), onde \(n\) é o número de qubits que a porta vai atuar.

Uma representação genérica de um operador é:

\[U = \begin{pmatrix} u_{00} & u_{01} \\ u_{10} & u_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ix_{00}} \cos{\theta} & -e^{ix_{01}} \sin{\theta} \\ e^{ix_{10}} \sin{\theta} & e^{ix_{11}} \cos{\theta} \end{pmatrix}\]

Visto que pela condição de normalidade as colunas devem ser vetores de norma 1 e isso é satisfeito pela identidade trigonométrica:

\[|u_{00}|^2 + |u_{10}|^2 = 1 = (\cos{\theta})^2 + (\sin{\theta})^2\]

Em geral os elementos da matriz unitária em Quântica são números complexos, por isso os fatores de fase, que precisam estar relacionados para garantir a ortogonalidade e a segunda coluna ser a conjugada complexa e transposta da primeira.

A) Porta NOT (Pauli-X)

Equivalente à porta NOT clássica (inverte 0 para 1 e 1 para 0)

\[X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
$$ X|0\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 1) & (1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1) & (0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1\rangle $$

B) Porta Hadamard

É uma porta fundamental que cria a superposição, ou seja, aplicar ela em um qubit garante que ele estará em superposição na base computacional.

\[H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

Temos assim:

\[H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\] \[H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\]

Outras portas quânticas sobre um qubit:

\[Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\]

C) Porta CNOT (Não controlado - múltiplos qubits)

Quando a porta age sobre n qubits, o espaço vetorial tem dimensão \(2^n\). As portas de múltiplos qubits são construídas usando o produto tensorial de operadores únicos.

A porta CNOT atua em 2 qubits, portanto é uma matriz 4x4, que aplica um NOT no segundo qubit somente se o primeiro qubit estiver no estado \(|1\rangle\).

\[CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

D) \(H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n}\) (Múltiplos Hadamard em múltiplos qubits \(|0\rangle\))

A partir de um operador para um único qubit, podemos criar sua porta para múltiplos qubits utilizando o produto tensorial entre si mesmo pela quantidade de qubits (n):

$$ H \otimes H |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$$

Isso tudo é representado por: \(H^{\otimes2}|0\rangle^{\otimes2}\)

Com rigor matemático, sendo \(\{0, 1\}^n\) o conjunto com todos os possíveis strings binários com n dígitos, temos que:

\[H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in \{0, 1\}^n} |x\rangle\]

E) \(H^{\otimes n}|x\rangle\) (Múltiplos Hadamard em qubits variáveis)

Para operações com qualquer estado da base computacional, temos uma outra fórmula a respeito das operações em múltiplos qubits.

\[H^{\otimes n}|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{z \in \{0, 1\}^n} (-1)^{\langle x|z \rangle}|z\rangle\]

Com entrada \(|x\rangle\), o sinal de \(|z\rangle\) é negativo quando \(x \cdot z\) (produto escalar) for ímpar.

\(x \cdot z = (x_1z_1 + x_2z_2 ... x_nz_n)\) o valor de x é o estado em que o hadamard é aplicado e z são todos os \(2^n\) estados de base possíveis.

Mudança de Base com Operadores

Em um circuito quântico, a medição é sempre feita na base computacional (base Z), cujos estados são: \(|0\rangle \ e \ |1\rangle\)

Isso acontece por uma questão econômica, mas também porque os estados da base computacional podem representar os estados de qualquer outra base mediante a aplicação de um operador de mudança de base.

Por exemplo, o estado \(|0\rangle\) transforma-se em \(|+\rangle\) ao aplicar o Hadamard, pois:

\[H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = |+\rangle\]

Sendo assim, se tivermos um estado na base de Hadamard e quisermos determinar seu valor nessa base, aplicamos novamente o Hadamard.

O operador \(H\) é sua própria inversa (matriz hermitiana); com o resultado da medição podemos inferir qual era o estado na base de Hadamard.

A maioria das bases de medição e dos operadores de mudança de base (por exemplo, \(H\)) é hermitiana, o que simplifica a inversão no circuito e torna eficiente a medição na base computacional.