Neste post vamos avançar no assunto de limites, abordando os conceitos de limites laterais, as propriedades gerais dos limites, a continuidade das funções definidas pelos limites e a relação do infinito com os limites.

A ideia é que o próximo post trate somente de limites trigonométricos, para concluir esse tema, e será um post individual, visto todo o aprofundamento necessário na parte trigonométrica para o real entendimento desses limites.

Sumário

Limites Laterais

Já vimos no post anterior que limites buscam entender o comportamento da função em um ponto específico, contudo, em algumas situações a função possui definições diferentes a depender do valor de x.

\[H(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x < 0 \\ 1, & \text{se } x \geq 0 \end{cases}\]

Nessa situação, a função \(H(x)\) é definida de forma diferente quando x assume valores menores ou maiores que 0. Então, se quiséssemos entender o comportamento dessa função no ponto \(a = 0\), precisaríamos verificar ambas as situações.

Os limites laterais verificam x se aproximando de 0 pela direita (valores maiores que \(a\), x está decrescendo) e x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que \(a\), x está crescendo).

\[\lim_{x \to 0^+} H(x) = 1 \quad | \quad \lim_{x \to 0^-} H(x) = 0\]

Logo, é perceptível que esses limites laterais são diferentes, o que significa que a função se comporta de forma diferente a depender da direção em que nos aproximamos do ponto
x = 0. Dizemos então que o \(\lim_{x \to 0} H(x)\) não existe.

Propriedades dos Limites

Aqui irei elencar algumas propriedades gerais dos limites, mas outras propriedades vão aparecer ao longo da demonstração de outros limites.

  • Propriedade da Constante: O limite de uma constante é a própria constante (independente do valor de a).
\[\lim_{x \to a} c = c\]

Vamos supor duas funções, \(f(x) \text{ e } g(x)\), e que os limites delas existem em um ponto j.

\[\lim_{x \to j} f(x) = L \quad | \quad \lim_{x \to j} g(x) = M\]
  • Propriedade da Soma/Subtração: O limite de uma soma/subtração é a soma/subtração dos limites.
\[\lim_{x \to j} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M\]
  • Propriedade do Produto: O limite de um produto é o produto dos limites.
\[\lim_{x \to j} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\]
  • Propriedade do Quociente: O limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero \((M \neq 0)\).
\[\lim_{x \to j} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{L}{M}\]
  • Propriedade da Potência: O limite de uma potência é a potência do limite.
\[\lim_{x \to j} [f(x)]^n = L^n\]
  • Propriedade do Múltiplo Constante: Essa propriedade é, na verdade, a junção da propriedade do produto com a propriedade da constante.
\[\lim_{x \to j} [c \cdot f(x)] = c \cdot L\]

Continuidade

Com todo esse conhecimento prévio, temos um tópico muito importante que verifica se uma função é contínua em um ponto \(a\), e para isso ela precisa atender 3 requisitos:

  • \(f(a)\) precisa estar bem definido
    (\(a\) precisa compor o domínio de f)

  • Precisa existir \(\lim_{x \to a} f(x)\)
    (os limites laterais precisam ser iguais)

  • Por fim, \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Com isso definido, temos que: Funções Polinomiais, Racionais, Exponenciais, Trigonométricas e Logarítmicas são contínuas para todo o seu domínio.

  • Propriedade da Continuidade: Se \(f(x) \text{ e } g(x)\) são contínuas, então também são contínuas: \(f \pm g, \ f \cdot g, \ f/g (\text{com } g(x) \neq 0), \ f \circ g, \ g \circ f\).

Limites no Infinito

Mas o que acontece com a nossa função quando \(x \to a\) com \(a\) sendo um valor incrivelmente grande ou pequeno, se aproximando do infinito? Temos então o que chamamos de Limites no infinito, onde analisamos o comportamento da função quando ela cresce ou decresce indefinidamente.

Importante ressaltar que \(\infty\) não é um número, ele é um conceito que representa um crescimento ilimitado. Por isso, as “operações” se tratam de interpretações do conceito de comportamento de funções que crescem sem limite.

Propriedades (C = número real finito)

  • 1) \(C + (\pm \infty) = \pm \infty\)
  • 2) \((\pm \infty) + (\pm \infty) = \pm \infty\)
  • 3) Para C > 0: \(C (\pm \infty) = \pm \infty\)
  • 4) Para C < 0: \(C (\pm \infty) = \mp \infty\)
  • 5) \(( \pm \infty) \cdot (\pm \infty) = + \infty\)
  • 6) \(( - \infty) \cdot ( - \infty) = + \infty\)
  • 7) \((\pm \infty - C) = \pm \infty\)
  • 8) \(\frac{C}{\pm \infty} = 0\)

Essas são as operações que temos definidas para o infinito, mas também temos operações indeterminadas, das quais não podemos simplificar:

  • 1) \(\infty - \infty\)
  • 2) \(\frac{\infty}{\infty}\)
  • 3) \(0 \cdot \infty\)
  • 4) \(1^\infty\)
  • 5) \(\infty^0\)

O que define se essas operações são válidas ou não é a interpretação conceitual delas. Por exemplo, na subtração de infinitos, é indefinível qual infinito vai dominar o outro, assim é impossível determinar o valor real dessa sobreposição, visto que ambos crescem indefinidamente.

Então, as situações de indeterminação são aquelas em que temos essa “competição” de um valor sobre o outro, mas não é possível definir um “ganhador” quando tratamos com algo que é infinitamente grande, mas não determinado o quão grande.

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x - 2}{5x^2 + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(3 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2})}{x^2(5 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{5} = \frac{3}{5} $$

Em resumo, quando lidamos com limites no infinito, normalmente nosso objetivo é zerar alguns termos fazendo eles serem divididos por x, já que qualquer real dividido por infinito conceitualmente vai a zero, e depois cancelarmos os termos de x.

Limites Infinitos

Embora os nomes sejam semelhantes, nessa situação o foco é em \(x \to a\) em que \(a\) é um ponto onde a função é indefinida, dessa forma f(x) cresce ou decresce indefinidamente.

Com rigor matemático, dizemos que esse limite não existe, mas esse resultado é importante para a construção dos gráficos da função.

Isso acontece quando o limite do numerador é um número diferente de zero, e o limite do denominador é zero.

Então, na resolução desses limites, o que precisamos verificar é se o resultado está decrescendo ou crescendo indefinidamente.

\[\lim_{x \to 3^+} \frac{2x}{x - 3} = \frac{6}{0^+} = +\infty\]
  • Note que se x tende a 3 pela direita, x > 3 e (x - 3) > 0
\[\lim_{x \to 3^-} \frac{2x}{x - 3} = \frac{6}{0^-} = -\infty\]
  • Note que se x tende a 3 pela esquerda, x < 3 e (x - 3) < 0.

Para \(x \to 0\) quem define o sinal é o numerador.