Enfim, chegamos ao último, porém definitivamente não menos importante, tópico de limites: os temidos limites trigonométricos.

Aqui revisaremos a parte fundamental da trigonometria envolvendo círculo trigonométrico, identidades trigonométricas e, como um sub-tópico, veremos também o Teorema do Confronto, além de definir alguns limites fundamentais.

Sumário

• Círculo Trigonométrico
• Identidades Trigonométricas
• Teorema do Confronto
• Limites Fundamentais

Círculo Trigonométrico

Antes de falarmos sobre funções trigonométricas, precisamos entender o comportamento das duas funções básicas, seno e cosseno, dentro do círculo trigonométrico.

Vamos começar avaliando os valores dessas funções para os ângulos 90°, 180°, 270° e 360°:

Para fazer essa análise, basta visualizar que a coordenada x do ponto no círculo representa o cosseno, e a coordenada y representa o seno.

• \(90^\circ(\frac{\pi}{2})\) - Está no topo do eixo y, coordenadas (0, 1)

• \(180^\circ(\pi)\) - Está no lado esquerdo do eixo x, coordenadas (-1, 0)

• \(270^\circ(\frac{3\pi}{2})\) - Está no fim do eixo y, coordenadas (0, -1)

• \(360^\circ(2\pi)\) - Está no lado direito do eixo x, coordenadas (1, 0)

Para finalizarmos o círculo trigonométrico, com o conhecimento apenas dos ângulos notáveis, podemos descobrir a maior parte dos valores de cosseno e seno.

Para isso, basta definirmos no primeiro quadrante um ângulo agudo de referência, como o \(60^\circ\), e assim podemos usar essa referência em qualquer outro quadrante, sabendo o “sinal do quadrante”, para determinar o valor do cosseno ou seno desse ângulo não notável.

2       (Seno)          1
       +   |  +
           |
    II     |    I
-  (-,+)   |   (+,+)   +
-----------|---------- (Cosseno)
-    III   |    IV     +
   (-, -)  |   (+,-)
           |
 3      -  |  -         4

Usando o ângulo \(210^\circ\), identificamos que ele está no terceiro quadrante. Subtraindo \(180^\circ\) graus (para retornar ao primeiro quadrante, no qual sabemos os ângulos notáveis), temos que o resultado é \(210^\circ - 180^\circ = 30^\circ\).

Pela tabela, temos que \(\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}\) e, pelo sinal do quadrante, temos que o terceiro é negativo para seno, então \(\sin{210^\circ} = - \frac{1}{2}\).

Identidades Trigonométricas

Aqui vou apenas elencar algumas identidades e definições trigonométricas que são importantes saber.

• 1) \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\)
• 2) \(1 + \tan^2{x} = \sec^2{x}\)
• 3) \(1 + \cot^2{x} = \csc^2{x}\)
• 4) \(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
• 5) \(\cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}\)
• 6) \(\sec{x} = \frac{1}{\cos{x}}\)
• 7) \(\csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}\)
• 8) \(\sin{(2x)} = 2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}\)
• 9) \(\cos{(2x)} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\)
• 10) \(\sin{(A \pm B)} = \sin{A}\cos{B} \pm \sin{B}\cos{A}\)
• 11) \(\cos{(A \pm B)} = \cos{A}\cos{B} \mp \sin{A}\sin{B}\)
• 12) \(\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}\)
• 13) \(\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}\)

Teorema do Confronto

Esse teorema permite calcular o limite de uma função ‘espremendo-a’ entre duas outras funções, cujos limites já conhecemos e são de mesmo valor.

Aproveita-se do fato de que as funções seno e cosseno são limitadas entre 1 e -1, para obter resultados diretos.

Definição: Se \(f(x) \le g(x) \le h(x)\) quando x está perto de \(a\) e

então \(\lim_{x \to a} g(x) = L\)

Exemplo:

Precisamos analisar o comportamento lateral dessa função:

• Para (x > 0):

  • Primeiro pegamos a parte limitada da função e multiplicamos pelo segundo termo:
  $$ -1 \le \sin{(\frac{\pi}{x})} \le 1 \quad \to \quad -x \le x \cdot \sin{(\frac{\pi}{x})} \le x$$
  • Agora, calculando o limite de -x (f(x)) e de x (h(x)), temos:
  \[\lim_{x \to 0^-} -x = 0 = \lim_{x \to 0^-} x\]
  • Logo, como ambas as funções possuem o mesmo limite:
  \[\lim_{x \to 0^-} x \cdot \sin{(\frac{\pi}{x})} = 0\]

• Para (x < 0):

  • O processo é similar, a diferença nesse caso é que, ao multiplicar pelo segundo termo, invertemos o sinal da inequação, visto que x é negativo:
  $$ -1 \le \sin{(\frac{\pi}{x})} \le 1 \quad \to \quad -x \ge x \cdot \sin{(\frac{\pi}{x})} \ge x$$
  • Novamente, calculamos os limites das funções auxiliares:
  \[\lim_{x \to 0^+} -x = 0 = \lim_{x \to 0^+} x\]
  • Logo, como ambas as funções possuem o mesmo limite:
  \[\lim_{x \to 0^+} x \cdot \sin{(\frac{\pi}{x})} = 0\]

Por fim, como os limites laterais são iguais, temos que

Limites Fundamentais

Aqui temos alguns limites fundamentais, que podem ser reduzidos imediatamente em questões:

• 1) \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1\)
• 2) \(\lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin{x}} = 1\)
• 3) \(\lim_{x \to 0}\frac{\tan{x}}{x} = 1\)
• 4) \(\lim_{x \to 0}\frac{x}{\tan{x}} = 1\)
• 5) \(\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}\)
• 6) \(\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos{x}}{x} = 0\)
• 7) \(\lim_{x \to 0}\sec{x} = 1\)
• 8) \(\lim_{x \to 0}\tan{x} = 0\)
• 9) \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin{ax}}{ax} = 1\)

Para finalizar, vou colocar a demonstração de um desses limites fundamentais, para mostrar a utilização das identidades e limites fundamentais na resolução de limites trigonométricos.

• Exemplo:

• Temos que \(1 - \cos^2{x}\) é igual a \(\sin^2{x}\):