Neste post, vamos tratar do segundo principal tópico referente à disciplina de Cálculo I, Derivadas.

Vou abordar um pouco da parte conceitual, mas vou focar nas definições práticas, como seu uso “pela definição” e as principais regras básicas de derivação.

Sumário

Conceito

A definição geométrica da derivada é a inclinação (instantânea) da reta tangente.

Suponha que você queira descobrir a inclinação exata da curva de uma função \(f(x)\) em um ponto \(\alpha\). Nesse caso, a fórmula tradicional de inclinação \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\), que exige dois pontos distintos, não serve.

Para resolver isso, utilizamos uma reta secante que passa por dois pontos da curva: o ponto de interesse \(\alpha\) e um ponto vizinho \(\beta\).

  • O ponto \(\alpha\) tem coordenadas \((x, f(x))\).
  • O ponto \(\beta\) tem coordenadas \((x + h, f(x + h))\), onde h é a distância horizontal entre os pontos.

Dessa forma, temos a inclinação da reta secante
(taxa de variação entre os dois pontos):

$$m_{secante} = \frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Porém, o resultado dessa inclinação é uma aproximação (definida pelo valor de h) da inclinação exata no ponto \(\alpha\).

Para obter a inclinação instantânea, precisamos que o ponto \(\beta\) se aproxime infinitamente do ponto que estamos analisando, ou seja, a distância (h) entre eles precisa tender a 0.

Juntando essas peças, é visível que a ferramenta utilizada nessas situações é o Limite, onde forçamos h a se aproximar de 0, mas sem nunca realmente ser zero.

Definição

Entendido o conceito geométrico das derivadas, chegamos à sua definição, que na prática é a aplicação de limite:

\[Derivada \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Além disso, também temos uma segunda fórmula, onde fazemos a substituição de h, que representa a distância entre os pontos. Assim, \(x\) se torna o ponto móvel que se aproxima do ponto de análise \(x_0\), então \(h = x - x_0\).

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]

Note que a ordem dos pontos sempre respeita a regra fundamental da inclinação (\(\Delta\) dos pontos), ou seja, primeiro temos o ponto final/móvel menos o ponto inicial/interesse.

Para que a derivada em um ponto \(\alpha\) de uma função exista, existem duas condições:

  • A função precisa ser contínua em \(x = \alpha\).
  • As derivadas laterais precisam ser iguais nesse ponto.

Sendo as derivadas laterais apenas a aplicação dos limites laterais na definição da derivada:

$$ f'_{+}(a) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \quad f'_{-}(a) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

Equação das Retas

Sabendo calcular a derivada em um ponto, agora podemos relacionar isso à equação de qualquer reta, visto que são necessárias duas informações:

  1. Um ponto (\(x_0, y_0\)) por onde a reta passa. (Informação necessária para o cálculo da derivada)
  2. A inclinação (\(m\)).

A derivada \(f'(x_0)\) fornece a inclinação da reta, e isso, juntamente ao ponto \((x_0, f(x_0))\), nos dá todas as informações para a construção da reta tangente ou normal.

Reta Tangente

A reta tangente tangencia a curva apenas no ponto de interesse, ou seja, ela tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.

  • Inclinação(\(m_T\)): É igual à derivada no ponto \(x_0\):
\[m_T = f'(x_0)\]
  • Equação: Usando a forma ponto-inclinação, temos \(y - y_0 = m(x - x_0)\), onde \(y_0 = f(x_0)\) e \(m = m_T\):
\[y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\]

Assim, temos a equação da reta tangente à curva \(f(x)\) no ponto \((x_0, f(x_0))\).

Reta Normal

Essa reta passa pelo mesmo ponto \((x_0, f(x_0))\), mas é perpendicular à reta tangente nesse ponto.

  • Inclinação(\(m_N\)): Por ser perpendicular à reta tangente, sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
\[m_N = - \frac{1}{m_T} = - \frac{1}{f'(x_0)}\]
  • Equação: Usando a mesma forma anterior, com \(m = m_N\):
\[y - f(x_0) = - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\]

Válido quando \(f'(x_0) \neq 0\). Caso contrário, a tangente é horizontal e a normal é vertical.

Casos específicos

  • A reta normal é perpendicular à reta tangente; portanto, o produto de suas inclinações é igual a -1:
\[m_T \cdot m_N = -1 \to m_N = \frac{-1}{m_T}\]

  • A reta tangente é horizontal quando sua inclinação é igual a 0, ou seja, quando a derivada da função do gráfico é 0.

  • A reta tangente é paralela a uma reta \(r\) qualquer quando suas inclinações são iguais, isto é, quando a derivada da função do gráfico é igual à inclinação da reta \(r\).

  • Por fim, em casos de uma reta tangente a uma função implícita, os valores \(x\) e \(y\) da equação dessa derivada são o ponto de tangência da reta.

Regras de Derivação

Por fim, temos as regras de derivação que funcionam como um recurso poderoso para “cortar caminho” quando possível, evitando o uso da derivada por definição.

  • Constante: \(f(x) = C \to f'(x) = 0\)
  • Exponencial: \(f(x) = x^n, n \in \mathbb{R} \to f'(x) = n \cdot x^{n - 1}\)
  • Multiplicação por Constante: \((C \cdot f(x))' \to C \cdot f'(x)\)
  • Soma e Subtração: \(f(x) \pm g(x) \to f'(x) \pm g'(x)\)

Regras de funções complexas:

  • Regra do Produto:
\[(f(x) \cdot g(x))' \to f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]
  • Regra do Quociente:
\[\frac{f(x)}{g(x)} \to \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}\]

Derivações Trigonométricas

  • Seno: \(f(x) = \sin{x} \to f'(x) = \cos{x}\)
  • Cosseno: \(f(x) = \cos{x} \to f'(x) = -\sin{x}\)
  • Tangente: \(f(x) = \tan{x} \to f'(x) = \sec^2{x}\)
  • Cotangente: \(f(x) = \cot{x} \to f'(x) = -\csc^2{x}\)
  • Secante: \(f(x) = \sec{x} \to f'(x) = \tan{x} \cdot \sec{x}\)
  • Cossecante: \(f(x) = \csc{x} \to f'(x) = -\csc{x} \cdot \cot{x}\)

Extras

  • Euler: \(f(x) = e^x \to f'(x) = e^x\)
  • Variável na Potência: \(f(x) = a^x \to f'(x) = a^x \cdot \ln{a}\)
  • Logaritmo Natural: \(f(x) = \ln{x} \to f'(x) = \frac{1}{x}\)
  • Logaritmo: \(f(x) = \log_a{x} \to f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\)

A “variável na potência” é uma aplicação da regra da cadeia com o número de Euler, visto que qualquer número pode ser escrito como \(x = e^{\ln{x}}\).

\[f(x) = a^x \ \to \ a = e^{\ln{a}}\] \[f(x) = (e^{\ln{a}})^x = e^{x \cdot \ln{a}}\]
  • Apicando a regra da cadeia, usando a regra da derivação de Euler:
\[f'(x) = (e^{\ln{a}})^x \cdot \ln{a} \ \to \ f'(x) = a^x \cdot \ln{a}\]