No post anterior sobre derivadas, exploramos o seu conceito geométrico e o que seria a derivada por definição usando limites.

Vimos também as equações das retas tangentes e normais e finalizamos com regras de derivação que ajudam na simplificação de equações.

Neste post, vamos nos aprofundar, explorando a derivação de funções compostas, conhecida por regra da cadeia, e também a derivada de funções onde \(y\) não está explicitamente isolado, necessário para compreender a derivada das inversas trigonométricas.

Por fim, vamos entender também um importante atalho na derivação de funções exponenciais complexas, onde tanto a base quanto o expoente contêm a variável \(x\): a derivação logarítmica.

Sumário

• Regra da Cadeia
• Notação de Leibniz
• Derivação Implícita
• Derivadas das Inversas Trigonométricas

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Regra da Cadeia

Muitas funções que aparecem na vida real não são isoladas; a maior parte delas são funções compostas, ou seja, é uma função onde o valor de \(x\) é outra função.

• \(f(g(x))\) lido como “f de g de x”

Um exemplo é a função \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\), onde, nesse caso, temos:

• A “função de fora”: \(f(x) = \sqrt{x}\)
• A “função de dentro”: \(g(x) = x^2 + 1\)

Analisando cada termo separadamente, é perceptível que a função \(g(x)\) se comporta como o \(x\) de \(f(x)\).

E, para conseguirmos encontrar a derivada desse tipo de função, precisamos da Regra da Cadeia.

Visto que as regras de derivação convencionais, como neste caso a regra da potência, servem apenas para valores nos quais a base é apenas \(x\).

• Regra da Cadeia: A derivada de uma função composta é o produto da derivada da função de fora pela derivada da função de dentro.

“Derive o de fora, mantendo o de dentro, e multiplique pela derivada do de dentro.”

Note que é comum o uso de uma variável intermediária \(u\), que substitui a função de \(x\) (função interna), para facilitar a visualização da fórmula.

Um ponto importante é que essa técnica pode ser estendida, ou seja, se você tiver 3 ou mais funções aninhadas, a regra se aplica sucessivamente:

\[[f(g(h(x)))]' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\]

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Notação de Leibniz

Uma notação utilizada para os cálculos de derivação implícita que vamos ver no próximo tópico, e até para uma visualização da regra da cadeia, é a notação de Leibniz.

\[\frac{dy}{dx}\]

Lê-se: “A derivada de \(y\) em relação à variável \(x\)”

Ela significa a taxa de variação instantânea da variável dependente (\(y = f(x)\)) que tem como fator de mudança a variável independente \(x\).

Sua representação é análoga a uma fração, visto que ela pode ser interpretada como o limite de uma fração:

\[\frac{dy}{dx} \approx \frac{variação \ em \ y}{variação \ em \ x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Onde as variações são mudanças infinitesimais, o que corresponde à definição formal de limite da derivada.

Existem duas formas de utilizar a notação:

• Indicando a derivada da função:

\[\frac{d}{dx}[f(x)]\]

O termo atua como um operador, que diz: “Derive o que está à minha direita em relação à variável \(x\)”

• Indicando o resultado da derivada:

\[\frac{dy}{dx}\]

Nesse caso, a notação representa o resultado de derivar (\(y = f(x)\)) em relação a \(x\), muito importante para a derivação implícita.

Por fim, temos a representação da Regra da Cadeia utilizando essa notação, a partir do uso da variável intermediária \(u\):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

Onde \(y\) é uma função de \(u\) (atua como a variável da função externa), e \(u\) é uma função de \(x\) (a função interna tem como variável o próprio \(x\)).

Intuitivamente, a derivada final é o “cancelamento” de \(du\) (isso não é uma formalização matemática, pois o resultado não é uma fração).

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Derivação Implícita

Até então, as funções que vimos tinham a variável dependente (\(y\)) explicitamente isolada, onde um valor de \(x\) retornava um único valor definitivo para \(y\).

No entanto, existem inúmeras relações matemáticas que não são apresentadas dessa forma, como a equação do círculo:

\[x^2 + y^2 = 25\]

Nessa situação, isolar \(y\) traz \(\pm\) raízes, além de que isso não representa formalmente uma função, pois para um valor de \(x\) podemos ter mais de um valor para \(y\).

Essas relações são funções implícitas, e o método da derivação implícita permite encontrar a inclinação da reta tangente para essas curvas, sem precisar isolar o \(y\).

O método

A ideia central está em tratar \(y\) como uma função de \(x\), \(y(x)\). Parece uma notação confusa, mas é para ilustrar que \(y\) tem uma dependência oculta de \(x\).

Dessa forma, ao aplicar esse método, derivamos ambos os lados da equação em relação a \(x\).

\[\frac{d}{dx}[x^2 + y^2] = \frac{d}{dx}[25]\]

Aplicando o operador (notação de Leibniz), temos que, se o termo for diretamente \(x\), utilizamos as regras de derivação convencionais, como \(x^2 \to 2x\), porém, para os termos em função de \(x\) como \(y\), aplicamos a regra da cadeia.

\[\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \cdot \frac{dy}{dx}\]

Ao fim da equação, isolamos o valor da derivada \(\frac{dy}{dx}\) e obtemos um resultado que depende tanto de \(x\) quanto de \(y\), como já percebemos ser uma característica da derivação implícita.

\[2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \ \to \ 2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y}\]

Bônus: Derivação Logarítmica

Para finalizar, vou falar dessa técnica que combina o número de Euler com o logaritmo natural (neperiano) para realizar um atalho para funções complexas:

Em sua maioria, as funções que utilizam esse atalho são funções exponenciais, onde a variável \(x\) aparece tanto na base quanto no expoente (ex: \(y = x^{\sin{x}}\)).

A utilidade dessa técnica está em poder aplicar as propriedades do logaritmo natural (\(\ln\)):

• 1) \(\ln{A \cdot B} = \ln{A} + \ln{B}\)
• 2) \(\ln{\frac{A}{B}} = \ln{A} - \ln{B}\)
• 3) \(\ln{A^B} = B \cdot \ln{A}\)

Vamos entender o procedimento para aplicação dessa técnica, a partir de um exemplo:

• 1) Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados

\[y = x^x \ \to \ \ln{y} = \ln{x^x}\]

• 2) Utilizar as propriedades de \(\ln\)

\[\ln{y} = x \cdot \ln{x}\]

• 3) Derivamos ambos os lados em relação a \(x\)

\[\frac{d}{dx}[\ln{y}] = \frac{d}{dx}[x \cdot \ln{x}] \ \to \ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln{x} + 1\]

O lado esquerdo é uma regra da cadeia, visto que \(y\) é uma função de \(x\).

• 4) Isolamos a derivada e substituímos \(y\)

\[\frac{dy}{dx} = y \cdot [\ln{x} + 1] \ \to \ \frac{dy}{dx} = x^x \cdot [\ln{x} + 1]\]

E assim chegamos à derivada de uma função que inicialmente não se enquadrava em nenhuma regra básica.

Derivadas das Inversas Trigonométricas

As funções trigonométricas recebem um ângulo e retornam uma razão. As suas inversas, as funções de arco, fazem o oposto, recebem uma razão e retornam o ângulo correspondente.

Exemplo, o \(\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\), ao aplicar a inversa temos:

\[\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)} = \arcsin{\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\pi}{6}\]

Contudo, para a existência da função inversa, a função original precisa ser bijetora.

As funções trigonométricas são por padrão períodicas no seu domínio completo, ou seja, é necessário restrigir o domínio para que atenda aos requisitos de bijeção.

Com esses domínios restritos conseguimos avaliar as funções arco e assim encontrar suas derivadas (a partir da derivação implícita):

• 1) \(f(x) = \sin{x}\), é bijetora em \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\):

  Se \(y = \arcsin{x} \to \sin{y} = x\), logo qual a derivada de y?

  Derivando com respeito a \(x\):

  \[\cos{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{y}}\]

  Aplicando as identidades trigonométricas, temos que \(\cos{y} = \pm \sqrt{1 - x^2}\), porém dentro do domínio restrito, o resultado final é só o valor positivo.

  Assim, a derivada do \([\arcsin{x}]' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

Repetindo o processo para as demais funções arco, temos todas as suas derivadas:

• 2) \(f(x) = \cos{x}\), é bijetora em \([0, \pi]\):

  \[y = \arccos{x} \to \cos{y} = x\] \[-\sin{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\]

  Temos que, \(\sin{y} = \pm \sqrt{1 - x^2}\), sempre negativo dentro do domínio restrito.

  Logo, a derivada de \([\arccos{x}]' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

• 3) \(f(x) = \tan{x}\), é bijetora em \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\):

  \[y = \arctan{x} \to \tan{y} = x\] \[\sec^2{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2{y}}\]

  Temos que, \(sec^2{y} = 1 + \tan^2{y} = 1 + x^2\)

  Logo, a derivada de \([\arctan{x}]' = \frac{1}{1 + x^2}\)

• 4) \(f(x) = \cot{x}\) é bijetora em \((0, \pi)\):

  \[y = \operatorname{arcctg}(x) \to \cot{y} = x\] \[- csc^2{y} \cdot \frac{dy}{dc} \to \frac{dy}{dc} = \frac{-1}{\csc^2{y}}\]

  Temos que, \(\csc^2 = 1 /cdot \cot{y} = 1 . x^2\)

  Logo, a derivada de \([\operatorname{arcctg}(x)]' = \frac{1}{1 + x^2}\)

• 5) \(f(x) = \sec{x}\) é bijetora em \([-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]\):

  \[y = \operatorname{arcsec}(x) = y \to \sec{y} = x\] \[\tan{x} \cdot \sec{x} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan{y} \cdot \sec{y}}\]

  Temos que, \(\sec{y} = |x|\), pois o valor varia a depender do intervalo da esquerda ou da direita, além disso, \(\tan{y} = \pm \sqrt{x^2 \pm 1}\) positivo para x maior igual a 1 e negativo para x menor igual a -1.

  Logo, a derivada de \([\operatorname{arcsec}(x)]' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}\)

• 6) \(f(x) = \csc{x}\) é bijetora em \([-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]\):

  \[y = \operatorname{arccsc}(x) = y \to \csc{y} = x\] \[-\csc{x} \cdot \cot{x} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc{x} \cdot \cot{x}}\]

  Temos que, \(\csc{y} = |x|\), pois o valor varia a depender do intervalo da esquerda ou da direita, além disso \(\cot{y} = \pm \sqrt{x^2 -1 }\) positivo para x maior igual a 1 e negativo para x menor igual a -1.