Neste post, vamos abordar o tópico de máximos e mínimos de uma função, assunto muito importante como aplicação prática do conteúdo de limites e derivadas vistos até então, especialmente para problemas de otimização (assunto do próximo post).

Assim, vamos entender os extremos de uma função e os teoremas fundamentais que auxiliam a encontrar esses pontos.

Sumário

Definição

Dizemos que uma função pode atingir valores “extremos”, ou seja, pontos de máximo (um valor maior do que os vizinhos) e pontos de mínimo (um valor menor do que os vizinhos).

Dentro dessa definição de valores extremos, temos os valores extremos locais e os globais:

  • Local: O menor ou maior valor em relação aos pontos em seu entorno.
  • Global: O menor ou maior valor absoluto no domínio da função.

Exemplificando: existem funções que crescem ou decrescem indefinidamente; nesse caso, não há um valor extremo absoluto, porém pode haver um ponto extremo dentro de uma região, sendo este um ponto de extremo local.

Para funções que não crescem ou decrescem indefinidamente, o ponto de extremo local tende a coincidir com o ponto de extremo global.

Em funções periódicas, esses extremos, embora “globais”, repetem-se ao longo do domínio.

Em termos matemáticos, uma função tem máximo global se, para um ponto \(c\) do \(Dom(f)\), o valor de \(f(c)\) é o maior para qualquer outro \(x\) pertencente ao domínio (raciocínio análogo para o mínimo global).

\[c \in Dom(f) \to f(c) \geq f(x), \forall x \in Dom(f)\]

Teorema de Fermat

Esse teorema é o ponto de partida para localizar esses possíveis pontos extremos dentro de uma função.

  • Definição: Se uma função \(f\) é diferenciável em um ponto \(c\) e possui um extremo local em \(c\), então a derivada nesse ponto é igual a 0.
\[f'(c) = 0\]

Na prática, isso significa que os extremos locais só podem ocorrer onde a derivada é zero (ou onde ela não existe), sendo esses pontos chamados de pontos críticos.

Logo, \(c\) é um ponto crítico de \(f(x)\). Com uma observação, que todo extremo local é um ponto crítico, mas o inverso não é uma regra.

Teste da Primeira Derivada

Após encontrarmos os pontos críticos, sabemos que eles são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.

Para descobrir se realmente são extremos e de qual tipo, utilizamos o teste do sinal.

Definimos os pontos críticos e os extremos do intervalo (caso a função tenha um domínio limitado) como eixos de uma tabela, e analisamos o sinal da derivada antes e depois desses eixos:

  • Se \(f'\) muda de positivo para negativo, temos um máximo local.
  • Se \(f'\) muda de negativo para positivo, temos um mínimo local.
  • Se o sinal não muda, não há extremo.

A análise do sinal, consiste em escolher um valor para \(x\) que esteja entre os valores dos eixos (pontos) e verificar o sinal da derivada.

Teorema do Valor Extremo

Esse teorema garante a existência de máximos e mínimos globais para funções limitadas por um intervalo fechado.

  • Definição: Se \(f\) é contínua em um intervalo fechado \([a, b]\), então \(f\) atinge valores máximo e mínimo em algum ponto do intervalo.

A importância disso está na resolução de problemas de otimização, onde, dada uma função contínua em um intervalo fechado, mesmo que não saibamos a princípio quais são seus extremos, temos a garantia de que existem dois pontos pertencentes a esse intervalo que são o máximo e o mínimo global dessa função.

Para verificar quais são esses pontos, devemos:

  • Encontrar os valores de \(f\) nos pontos críticos de \(f\) para \(x \in (a, b)\)
  • Encontrar os valores de \(f\) nos extremos do intervalo \(f(a)\) e \(f(b)\)
  • O maior valor dentre todos os encontrados é o máximo global, e o menor valor é o mínimo global

Os pontos críticos válidos são somente aqueles que pertencem ao intervalo da função.

Um adicional importante, envolvendo principalmente problemas de otimização, é que caso o ponto crítico dessa função seja um valor fora do intervalo, a extremidade do intervalo mais próximo do ponto crítico, é o mínimo ou máximo real da função.

Visto que o ponto crítico demonstra que a função continuaria crescendo ou decrescendo se o intervalo abrangesse esse ponto, sendo a continuidade da função a garantia que esse máximo ou mínimo seria atingido.

Teorema de Rolle

Esse teorema, é um das consequências do próximo teorema, porém por ser um caso especial bem intuitivo, costuma ser estudado separadamente.

  • Definição: Se \(f\) é contínua em \([a, b]\), diferenciável em \((a, b)\) e \(f(a) = f(b)\), então existe pelo menos um ponto \(c \in (a, b)\) tal que \(f'(c) = 0\).

Geometricamente, significa dizer que se uma função começa e termina no mesmo valor em \(y\), há um ponto entre esses valores em que a tangente é horizontal.

Como um “pico de um monte”, que pode ser para cima ou para baixo, a depender de ser um ponto de mínimo ou máximo.

A lógica é, com a função não sendo uma reta, em algum momento ela precisou “nivelar” seu crescimento/decrescimento para voltar ao ponto de partida em \(y\).

Para funções que são retas horizontais, todos os pontos são máximos e mínimos simultaneamente.

Teorema do Valor Médio

Esse teorema generaliza a ideia apresentada no Teorema de Rolle, o que traz algumas consequências importantes para o estudo das funções.

  • Definição: Se \(f\) é contínua em \([a, b]\) e diferenciável em \((a, b)\), então existe um ponto \(c \in (a, b)\) tal que:
\[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

Isso significa que, em algum ponto \(c\) a taxa de variação instantânea é igual a taxa média, e se a taxa média for 0, temos o Teorema de Rolle.

Geometricamente, a reta tangente a esse ponto \(c\) é paralela a reta secante que liga \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\).

As consequências desse Teorema são:

  • Se \(f'(x) = 0, \ \forall x \in (a, b)\) então a função é constante nesse intervalo.

  • Se \(f\) é contínua em \([a, b]\) e diferenciável em \((a, b)\) então:

    • \(f'(x) > 0 \text{ em } (a, b) \to\) f é crescente em \((a, b)\)
    • \(f'(x) < 0 \text{ em } (a, b) \to\) f é decrescente em \((a, b)\)