No post de hoje, vamos abordar um método para resolver limites complexos e aplicar todos os conhecimentos até o momento, com o objetivo de construir o gráfico de funções.

Sumário

L’Hôpital

Durante o estudo de limites, vimos várias formas de resolver indeterminações a fim de obter um resultado definido (exceto no caso de limites infinitos).

Essa é uma técnica poderosa, muito útil para a construção de gráficos — especificamente para a determinação das assíntotas — e sua aplicação é focada nos limites indeterminados do tipo:

\[\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty}\]

Definição: sejam duas funções \(f(x)\) e \(g(x)\) diferenciáveis e \(g'(x)\neq 0\) em um intervalo aberto \(I\) que contenha \(a\).

  • Suponha os limites:
\[\lim_{x\to a} f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=0\]

ou

\[\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty.\]
  • Tem-se a igualdade, caso o limite do lado direito exista:
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]

Contudo, existem inúmeros tipos de indeterminação que não podem ser aplicados diretamente; por isso há formas de adaptá‑las às duas possíveis formas acima.

  1. Indeterminação do tipo \(0\cdot\infty\)

    Se

    \[\lim_{x\to a} f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,\]

    então

    \[\lim_{x\to a} f(x)\cdot g(x)=0\cdot(\pm\infty).\]

    Assim, para aplicar L’Hôpital pode‑se reescrever:

    \[f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{1/f(x)}\quad\text{ou}\quad\frac{f(x)}{1/g(x)},\]

    respectivamente em indeterminações do tipo \(\frac{\infty}{\infty}\) e \(\frac{0}{0}\).

  2. Indeterminação do tipo \(\infty-\infty\)

    Se

    \[\lim_{x\to a} f(x)=\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=\infty,\]

    então

    \[\lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=\infty-\infty.\]

    Tenta‑se converter a diferença em um quociente para obter as indeterminações \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\frac{0}{0}\).

    • Exemplo:
    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\sec x-\tan x)=\infty-\infty\] \[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{0}{0}\] \[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{(1-\sin x)'}{(\cos x)'}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{0}{1}=0.\]

  3. Potências indeterminadas

    Valores com forma indeterminada surgem em limites do tipo \(\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\), casos:

    1. \(\lim_{x\to a} f(x)=0\) e \(\lim_{x\to a} g(x)=0\) (tipo \(0^0\))
    2. \(\lim_{x\to a} f(x)=\infty\) e \(\lim_{x\to a} g(x)=0\) (tipo \(\infty^0\))
    3. \(\lim_{x\to a} f(x)=1\) e \(\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty\) (tipo \(1^{\pm\infty}\))

    Esses casos são resolvidos utilizando as funções exponencial e logaritmo.

    • Se \(f(x)^{g(x)}=e^{\ln(f(x)^{g(x)})}=e^{g(x)\ln f(x)}\),
    • então \(\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}=e^{\lim_{x\to a} g(x)\ln f(x)}\),
    • obtendo‑se então indeterminações mais simples de tratar, como \(0\cdot(\pm\infty)\), \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).

Elementos para construção de gráficos

Domínio

  • Conjunto de todos os valores de $x$ para os quais a função \(f(x)\) está definida.

    Exemplos: quando o denominador não é zero ou o radicando não é negativo.

  • Pontos de descontinuidade do domínio são candidatos a assíntotas verticais.

Interseções com os eixos

  • Raízes (interseção com o eixo $x$): valores de $x$ nos quais \(f(x)=0\).
  • Interseção com o eixo \(y\): é o valor \(f(0)\) (quando \(x=0\)).

Fornecem referências de pontos pelos quais o gráfico deve passar.

Assíntotas e comportamento nos limites

  • Assíntotas verticais: ocorrem quando \(\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty\).
    • Existem apenas em pontos de descontinuidade do domínio, correspondentes aos valores de $a$ considerados no limite.
  • Assíntotas horizontais: ocorrem se \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L\) (onde \(L\) é um número finito).
    • Indicam para onde o gráfico se aproxima nas extremidades.
  • Comportamento nos limites: analise \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)\), mesmo se não houver assíntota horizontal, para saber se a função cresce ou decresce infinitamente.
    • Indica a direção que as extremidades do gráfico devem tomar.

Análise da Primeira Derivada (\(f'(x)\))

  1. Máximos e mínimos (extremos locais)

    Os pontos críticos acontecem onde \(f'(x)=0\) ou \(f'(x)\) é indefinido (sempre respeitando o domínio da função).

    Na tabela, é importante verificar os pontos críticos baseando‑se na primeira derivada e nos pontos onde a função é indefinida. Exemplo: frações com \(x\neq0\).

    Testar esses pontos críticos usando o teste da primeira derivada ou o teste da segunda derivada revela máximos e mínimos locais.

    • Define os picos e vales do gráfico, pontos essenciais para mudança de sentido.

    • Teste da segunda derivada: sendo \(f''(x)\) contínua na vizinhança de um ponto crítico \(c\):

      1. Se \(f'(c)=0\) e \(f''(c)>0\), então \(f\) tem um mínimo local em \(c\) (mínimo local: \((c,f(c))\)).
      2. Se \(f'(c)=0\) e \(f''(c)<0\), então \(f\) tem um máximo local em \(c\) (máximo local: \((c,f(c))\)).

  2. Intervalos de crescimento e decréscimo

    • Crescimento: onde \(f'(x)>0\).
    • Decréscimo: onde \(f'(x)<0\).
      • Indica a direção do movimento do gráfico entre os pontos críticos e as assíntotas.

    Pode‑se descobrir máximos locais analisando o ponto onde a função muda de crescimento para decréscimo (e o inverso para mínimos locais).

Análise da segunda derivada (\(f''(x)\))

  1. Concavidade
    • Côncava para cima: onde \(f''(x)>0\) (formato de \(\cup\)).
    • Côncava para baixo: onde \(f''(x)<0\) (formato de \(\cap\)).
      • Define a curvatura do gráfico.
  2. Ponto de inflexão: ocorre quando a concavidade muda de sentido, ou seja, onde \(f''(x)=0\) ou \(f''(x)\) é indefinida (respeitando o domínio da função).

Na tabela, é importante verificar os pontos de inflexão baseando‑se na segunda derivada e nos pontos onde a função é indefinida. Exemplo: frações com \(x\neq0\).

Esboço final

  1. Desenhar os eixos de acordo com o domínio, as assíntotas e as interseções.
  2. Marcar os pontos de máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão.
  3. Ligar todos os pontos seguindo os intervalos de crescimento/decréscimo e a concavidade correta.

    Lembre‑se de que o esboço da função deve terminar na direção indicada pelos limites quando \(x\to\pm\infty\).