Funções Primitivas & Integrais

Agora vamos avançar para o último conteúdo presente na disciplina de Cálculo I: as integrais.

Enquanto a derivada representa a taxa de variação de uma função, a integral realiza o processo inverso — é neste ponto que surge o conceito de função primitiva (a antiderivada) da função que estamos analisando.

Em resumo: ao integrar uma função, realizamos o processo inverso da derivação e encontramos sua primitiva.

Nesse primeiro post, vamos explorar definições iniciais; nos próximos, veremos aplicações e técnicas de integração.

Funções Primitivas

Definição: Uma função \(F\) é denominada uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\), se \(F'(x) = f(x)\) em \(I\).

É a antiderivada ou operação inversa da derivada.

Se \(F\) e \(G\) são primitivas de \(f\), então \(F(x) = G(x) + C\)
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\) então a primitiva mais geral de \(f\) em \(I\) é \(F(x) + C\)

\(C\) é um constante arbitrária (qualquer número real) que contempla todas as primitivas possíveis de uma função, é também chamada de constante de integração.

Exemplos de funções e suas primitivas:

\[f(x) = F'(x) = x^n \to F(x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1\]
\[f(x) = F'(x) = \frac{1}{x} \to F(x) = \ln{|x|} + C\]
\[f(x) = F'(x) = e^x \to F(x) = e^x + C\]
\[f(x) = F'(x) = \sin{x} \to F(x) = -\cos{x} + C\]
\[f(x) = F'(x) = \cos{x} \to F(x) = \sin{x} + C\]
\[f(x) = F'(x) = \sec^2{x} \to F(x) = \tan{x} + C\]
\[f(x) = F'(x) = \sec{x} \cdot \tan{x} \to F(x) = \sec{x} + C\]
\[f(x) = F'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \to F(x) = \arcsin{x} + C\]
\[f(x) = F'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \to F(x) = \arctan{x} + C\]

Integrais Definidas

A integral é a ferramenta que permite calcular a soma contínua de quantidades (como áreas sob uma curva) ou reverter a derivação para encontrar primitivas.

Definição: Usadas para calcular a área sob o gráfico y = f(x) no intervalo [a, b], quando f é contínua em [a, b].

Dado um gráfico, é possível particionar a areá total em múltiplos retângulos, de forma que:

\[P = {x_0, x_1, x_2, x_3, x_4...x_n} \ \text{com} \ x_0 < x... < x_n\]

E o menor valor e maior valor dessa partição são os extremos do intervalo, \(a = x_0\) e \(b = x_1\).

Sendo assim, a área abaixo do gráfico, corresponde a aproximadamente a soma das áreas dos retângulos(dada por \(f(x_i) \cdot \triangle x\)).

Área \(\cong \sum_{i= 1}^{n} f(x_i)(x_i - x_{i - 1})\) , contudo para uma exatidão:
Área = \(\lim_{n \to \infty}\sum_{i= 1}^{n} f(x_i)(x_i - x_{i - 1})\)

Toda função contínua em [a, b] é integrável.

Propriedades

Seja \(c \in \mathbb{R} \to \int_{a}^{b} c \ dx = c(b -a)\)
Temos \(\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \ dx = \int_{a}^{b} f(x) \ dx + \int_{a}^{b} g(x) \ dx\)
Temos \(\int_{a}^{b} K \cdot f(x) \ dx = K \cdot \int_{a}^{b} f(x) \ dx\)
Temos \(\int_{a}^{a} f(x) \ dx = 0\)
\(\int_{b}^{a} f(x) \ dx = - \int_{a}^{b} f(x)\) com (\(a < b\))
\(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \int_{a}^{c} f(x) \ dx + \int_{c}^{b} f(x) \ dx\) com (\(a < c < b\))
Se \(f(x) \geq 0\) em [a, b] \(\to \int_{a}^{b} f(x) \ dx \geq 0\)
Se \(f(x) \geq g(x)\) em [a, b] \(\to \int_{a}^{b} f(x) \ dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \ dx\)
Se \(m \leq f(x) \leq M\) em [a, b]:

\[m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \ dx \leq M(b -a)\]

Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C)

O TFC estabelece que integral definida de uma função \(f(x)\) em um intervalo [a, b] pode ser calculada encontrando-se qualquer antiderivada/primitiva (\(F(x)\)) de \(f(x)\) e, em seguida, calculando-se a diferença de \(F(b) - F(a)\).

\[\int_{a}^{b} f(x) \ dx = F(b) - F(a)\]

Parte I - Regra da Cadeia

Lida com as derivadas de integrais onde os limites de integração são funções de \(x\).

Definição: Se \(f\) for contínua em [a, b], então a função \(g\) é definida por \(g(x) = \int_{a}^{x} f(t) \ dt\) onde \(a \leq x \leq b\).

Além disso \(g(x)\) também é contínua em [a, b] e \(g'(x) = f(x)\).

Seja
\[G(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) \ dt\]
onde \(f\) é contínua em [a, b] e \(g\) derivável em \(I\).
\[G'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\]
- \(G(x)\) é uma função composta, vista como \(G(u)\) onde \(u = g(x)\).
Seja
\[H(x) = \int_{g(x)}^{a} f(t) \ dt\]
\(f\) e \(g\) com as hipóteses do item anterior.
\[H'(x) = - f(g(x)) \cdot g'(x)\]
- Pela propriedade das integrais, pode-se inverter os limites de integração, invertendo o sinal da integral.
Seja
\[Z(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \ dt\]
onde \(f\) é contínua em [a, b] e \(g\) e \(h\) são deriváveis em \(I\).
\[Z(x) = \int_{h(x)}^{a} f(t) \ dt + \int_{a}^{g(x)} f(t) \ dt \to\] \[z'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\]
- Pela propriedade das integrais, pode-se alterar os limites de integração, quebrando o intervalo em uma adição com um ponto constant arbitrário (\(a\)).

Parte 2

Nesse caso, a área sob a curva, vista anteriormente como uma limite de somas complexas, é resumido como uma simples subtração de valores de uma função primitiva.

Definição : Se \(f\) for contínua em [a, b] e \(F\) for uma primitiva de \(f\), então:

\[\int_{a}^{b} f(x) \ dx = F(b) - F(a) = F(x )\]

Nessa situação, a constante de integração não é necessária, visto que, ela se cancela:

\[(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) + C - F(a) + C\] \[= F(b) - F(a)\]

Funções Simétricas

\(f(x)\) é par se: \(f(-x) = f(x)\)
\(f(x)\) é ímpar se: \(f(-x) = -f(x)\)

Propriedades:

A soma de funções pares resulta em uma função par
A soma de funções ímpares resulta em uma função ímpar
O produto de duas funções pares/ímpares resulta em uma função par
O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função ímpar

A soma de uma função par com um função ímpar não resulta em nenhuma das duas (função par \(\neq 0\))

Integrais Definidas de Funções Simétricas

Intervalo de integração simétrico com respeito à origem [-a, a]

Quando \(f(x)\) é ímpar: \(\int_{-a}^{a} f(x) \ dx = 0\)
Quando \(f(x)\) é par: \(\int_{-a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx\)

Exemplo:

\[\int_{-1}^{1} [\sin{x} + \frac{x^2 \cdot \cos{x}}{x^2 + 1} + 2 \tan{x}] dx = 0\]

CODIGUIN