Nesse post, vamos entender como funciona as integrais indefinidas, que representam muitas das funções que vamos integrar, e duas das técnicas utilizadas para resolver essas integrais, além de suas propriedades clássicas.

Sumário

Integral Indefinida

A integral indefinida de \(f(x)\) é o conjunto de todas as primitivas de \(f(x)\) em \(I\).

\[\int f(x) \ dx = F(x) + C\]

Propriedades

  1. \[\int c \cdot f(x) \ dx\]
  2. \[\int (f(x) \pm + g(x)) \ dx = \int f(x) \ dx \pm \int g(x) \ dx\]
  3. \[\int K \ dx = K \cdot x + C\]
  4. \[\int x^n \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq 1\]
  5. \[\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{x} \ dx = \ln{|x|} + C\]
  6. \[\int e^x \ dx = e^x + C\]
  7. \[\int a^x \ dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C\]
  8. \[\int \sin{x} \ dx = - \cos{x} + C\]
  9. \[\int \cos{x} \ dx = \sin{x} + C\]
  10. \[\int \sec^2{x} \ dx = \tan{x} + C\]
  11. \[\int \csc^2{x} \ dx = - \cot{x} + C\]
  12. \[\int \sec{x} \cdot \tan{x} \ dx = \sec{x} + C\]
  13. \[\cos{x} \cdot \cot{x} \ dx = -\csc{x} + C\]

  14. Temos

    \[\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C\]
    • O mesmo para \(\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan{x} + C\)

  15. Temos

    \[\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \ dx = \arcsin{\frac{x}{a} } + C\]

    • O mesmo para \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \arcsin{x} + C\)

    • Para as arco cosseno e cossecante, basta adicionar mudar o sinal para negativo.

A integral indefinida permite resolução de integrais definidas:

\[\int_{a}^{b} f(x) \ dx = \int f(x) \ dx = F(b) - F(a)\]

Substituição (Mudança de Variável)

Regra: Se \(u = g(x)\) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo \(I\) e \(f\) for contínua em nesse intervalo, então:

\[\int f(g(x)) \cdot g'(x) \ dx = \int f(u) \ du\]

Exemplo:

\(u = 1 + x^2 \to \frac{du}{dx} = 2x\) logo \(du = 2x \ dx\)

\[\int 2x\sqrt{1 + x^2} \ dx \to \int \sqrt{u} \ du = \int u^{\frac{1}{2}} \ du\] \[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \to \frac{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C\]

Integração por Partes

Usado para resolver integrais que envolvem o produto de duas funções e que não podem ser resolvidas diretamente (por exemplo, por Substituição).

Usamos a dica “LIATE” (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial):

Fórmula:

\[\int [f(x) \cdot g(x)]' = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x)\]

  1. Dado duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\), a regra do produto afirma que:

    \[[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\]

  2. Integrando ambos os lados da equação em relação a \(x\):

    \[\int [u(x)v(x)]' \ dx = \int u'(x)v(x) \ dx + \int u(x)v'(x) \ dx\]

  3. A integral da derivada é a própria função (mais a constante de integração), assim:

    \[\underbrace{u(x)v(x)}_{\text{Antiderivada (Resultado da integral da derivada)}} =\] \[\underbrace{\int u'(x)v(x) \,dx}_{\text{Integral A}} + \underbrace{\int u(x)v'(x) \,dx}_{\text{Integral B}}\]

  4. Supondo que a integral final que queremos resolver é a Integral B, então mudamos a igualdade:

    \[\int u(x)v'(x) \ dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \ dx\]

    • Assim temos que a Integral B (maís difícil) é resolvida pela subtração de um termo sem integral e uma nova integral mais simples.

    • \(dv = v'(x) \cdot dx\) \(du = u'(x) \cdot dx\)
    \[\int u \ dv = uv - \int v \ du\]

Exemplo:

\(u = x\) \(du = dx\) \(v = -\cos{x}\) \(dv = \sin{x} \ dx\)
\[\int x \sin{x} \ dx = -x \cos{x} - \int -\cos{x} \ dx\] \[- x \cos{x} + \int \cos{x} \ dx = -x \cos{x} + \sin{x} + C\]