Nesse post, vamos entender sober as integrais trigonométricas, que são integrais definida ou indefinida que compostas por funções trigonométricas.

Sumário

Identidades Trigonométricas (Seno e Cosseno)

Essas integrais dependem fortemente da utilização de identidades para serem resolvidas, recapitulando algumas das mais importantes:

  1. \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\) (Identidade Pitagórica)

    Desta derivam-se (geralmente para potências ímpares):

    \[\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\] \[\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}\]

  2. Identidades de meio ângulo (para potências pares positivas):

    \[sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}\] \[\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}\]
    • \(\sin{(2x)} = 2 \sin{x} \cdot \cos{x}\) (Auxiliar: seno do arco duplo)

  3. Identidades de Produto para Soma

    \[\sin{(mx)} \cdot \cos{(nx)} = \frac{1}{2} (\sin{((m + n) x)} + \sin{((m - n)x)})\] \[\sin{(mx)} \cdot \sin{(nx)} = \frac{1}{2} (\cos{((m -n) x)} - \cos{((m + n)x)})\] \[\cos{(mx)} \cdot \cos{(nx)} = \frac{1}{2} (\cos{((m + n) x)} + \cos{((m - n)x)})\]

Técnicas

  • Em caso de potências ímpares, de seno ou cosseno, como:

    \[\int \sin^3{x} \ dx\]

    Quebra a potência em, \(\sin^2{x} \cdot \sin{x}\), e usa a identidade Pitagórica na parte par, \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\), para então aplicar uma substituição simples, tornando \(u\) uma função simples (neste caso, \(u = \cos{x}\)).

  • Em caso de potências pares de seno ou cosseno, como:

    \[\int \cos^2{x} \ dx\]

    é utilizado as identidades de meio ângulo para reduzir a potência e introduzir um ângulo duplo.

  • Em caso onde o integrando é um produto de \(\sin{x} \cdot \cos{x}\), a identidade do seno do arco duplo, transforma o produto em um seno de ângulo duplo, que é simples de integrar.

Propriedades:

  1. \[\int \sin^m{(Kx)} \cdot \cos{(Kx)} \ dx = \frac{\sin^{m + 1}{Kx}}{K(m + 1)} + C\]
  2. \[\int \cos^n{(Kx)} \cdot \sin{(Kx)} \ dx = \frac{\cos^{n + 1}{Kx}}{K(n + 1)} + C\]
  3. \[\int cos{(Kx)} \ dx = \frac{\sin{(Kx)}}{K} + C\]
  4. \[\int \sin{(ax + b)} \ dx = \frac{-\cos{(ax + b)}}{a} + C\]
  5. \[\int \sin{(b - ax)} \ dx = \frac{\cos {b - ax}}{a} + C\]

Identidades Trigonométricas (Tangente, Secante, Cotangente e Cossecante)

  1. \[1 + \tan^2{x} = \sec^2{x}\]
  2. \[1 +\cot^2{x} = \csc^2{x}\]

Propriedades

  1. \[\int \tan{x} \ dx = \ln{|\sec{x}|} + C\]
  2. \[\int \sec{x} \ dx = \ln{|\sec{x} + \tan{x}|} \ dx\]
  3. \[\int \tan^n{(Kx)} \cdot \sec^2{(Kx)} \ dx = \frac{\tan^{n+1}{(Kx)}}{K(n + 1)} + C\]
  4. \[\int \sec^n{(Kx)} \cdot \tan{(Kx)} \cdot \sec{(Kx)} \ dx = \frac{\sec^{n + 1}{(Kx)}}{K(n - 1)} + C\]
  5. \[\int \csc^n{(Kx)} \cdot \cot{(Kx)} \cdot \csc{(Kx)} \ dx = \frac{-\csc^{n + 1}{(Kx)}}{K(n + 1)} + C\]

Técnicas

Dado que: \(\int \tan^n{x} \cdot \sec^m{x} \ dx\) e \(\int \cot^n{x} \cdot \csc^m{x} \ dx\)

  • Caso 1: Quando \(n\) é ímpar e \(m\) é um número qualquer, temos:

    • \(\int \tan^n{x} \cdot \sec^m{x} \ dx = \int \tan^{n-1}{x} \cdot \sec^{m-1}{x} \cdot \tan{x} \cdot \sec{x}\) (Usamos a 1° Identidade)

    • \(\int \cot^n{x} \cdot \csc^m{x} \ dx = \int \cot^{n - 1} \cdot \csc^{m - 1}{x} \cdot \cot{x} \cdot \csc{x} \ dx\) (Usamos a 2° Identidade)

  • Caso 2: Quando \(m\) é um número par e $n$ é um número qualquer, temos:
    • \[\int \tan^n{x} \cdot \sec^m{x} \ dx = \int \tan^n{x} \cdot \sec^{m-2} \cdot \sec^2{x} \ dx\]
    • \[\int \cot^m{x} \cdot \csc^m{x} \ dx = \int \cot^n{x} \cdot \csc^{m-2}{x} \cdot \csc^2{x} \ dx\]
  • Extras:

    • Quando \(n\) é ímpar e \(m\) é par, pode-se usar qualquer um dos casos

    • Se \(n\) é par e \(m = 0\), essas duas são válidas:

      • \[\int \tan^n {x} \ dx = \int \tan^{n-2}{x} \cdot \tan^2{x} \ dx\]
      • \[\int \cot^n{x} \ dx = \int cot^{n - 2} \cdot \cot^2{x} \ dx\]

Substituição Trigonométrica

Utilizada para resolver integrais que contenham expressões algébricas que se assemelham ao Teorema de Pitágoras (geralmente envolvendo raízes quadradas).

Objetivo: Substituir a variável original \((x)\) por uma função trigonométrica de um novo ângulo \((\theta)\) de modo que a expressão radical se simplifique a partir das identidades trigonométricas.

Casos:

  1. Temos: \(\sqrt{a^2 - x^2}\)

    • Substituição: \(x = a \cdot \sin{\theta}\)
    • Identidade: \(1 - \sin^2{\theta} = \cos^2{\theta}\)
    • Simplificação:
    \[\sqrt{a^2 - x^2} \to \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2{\theta}} \to \sqrt{a^2(1 - \sin^2{\theta})}\] \[\to \sqrt{a^2\cos^2{\theta}} = a \cos{\theta}\]

  2. Temos: \(\sqrt{a^2 + x^2}\)

    • Substituição: \(x = a \tan{(\theta)}\)
    • Identidade: \(1 + \tan^2{(\theta)} = \sec^2{(\theta)}\)
    • Simplificação:
    \[\sqrt{a^2 + x^2} \to \sqrt{a^2 a^2 \tan^2{(\theta)}} \to \sqrt{a^2(1 + \tan^2{(\theta)})}\] \[\to \sqrt{a^2 \sec^2{(\theta)}} = a \sec{(\theta)}\]

  3. Temos: \(\sqrt{x^2 - a^2}\)

    • Substituição: \(x = a \sec{(\theta)}\)
    • Identidade: \(\sec^2{(\theta)} - 1 = \tan^2{(\theta)}\)
    • Simplificação:
    \[\sqrt{x^2 - a^2} \to \sqrt{a^2 \sec^2{(\theta)} - a^2} \to \sqrt{a^2(\sec^2{(\theta)} - 1)}\] \[\to \sqrt{a^2 \tan^2{(\theta)}} = a \tan{(\theta)}\]