Finalizando todo conteúdo visto na disciplina de Cálculo I, temos a utilização de frações parciais como técnica de integração, e a aplicação das integrais para descobrir a área de regiões abaixo do gráfico.

Sumário

Fração por partes

\(\frac{P(x)}{Q(x)} \ dx\), onde \(P\) é um polinômio de grau \(n\) e \(Q\) um polinômio de grau \(m\).

Isso significa, que:

\[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\] \[Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0\]
  • Quando \(n < m\) a função racional é própria.
  • Quando \(n \geq m\) a função racional é imprópria.

Definição: Se trata de uma técnica algébrica usada para reescrever uma função racional complexa, como uma soma de frações mais simples.

Se \(n < m\) ou seja grau (\(P\)) < grau (\(G\)):

  • Caso 1: O denominador \(Q(x)\) é um produto de fatores lineares distintos

    \[Q(x) = (a_1x + b)(a_2x + b)...(a_mx + b)\]
    • Usando o Teorema das frações parciais, existem constantes \(A_1, A_2, ..., A_n\), onde:
    \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int \frac{A_1}{a_1x + b} + \int \frac{A_2}{a_2x + b}+ ... + \int \frac{A_m}{a_mx + b}\]
    • Propriedades:
      • \[\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{\ln{|ax + b|}}{a} + C\]
      • \[\int \frac{dx}{b - ax} = \frac{\ln{|b - ax|}}{a} + C\]
      • \[\int \frac{dx}{(ax + b)^n} = \frac{(ax + b)^{1 - n}}{a(1 - n)} + C (n \ne 1)\]
      • \[\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan{(\frac{x}{a})} + C\]

  • Caso 2: \(Q(x)\) é um produto de fatores lineares, e alguns fatores são repetidos

    \[Q(x) = (a_1x + b_1)^r(a_2x + b_2)^2\]

    • Pelo Teorema das frações parciais:

      \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int \frac{A_1}{a_1x + b_1} + \int \frac{A_2}{(a_1x + b_1)^2} + ... +\] \[+ \int \frac{A_{m-2}}{(a_1x + b_1)^r}\] \[+ \int \frac{A_{m - 1}}{a_1x + b+1} + \int \frac{A_m}{(a_1x + bx)^2}\]

  • Caso 3: \(Q(x)\) contém fatores quadráticos irredutíveis nenhum dos quais se repete.

Se \(Q(x)\) tiver o fator \(ax^2 + bx + c\) é irredutível quando \(b^2 - 4ac < 0\) (Determinante < 0).

\[Q(x) = (a_1x + b_1)(x^2 + a_2)(x^2 + bx + c)\]
  • Pelo Teorema das frações parciais:
\[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int \frac{A_1}{a_1x + b_1} +\] \[\int \frac{A_2x + A_3}{x^2 + a_2} + \int \frac{A_4 + A_5}{x^2 + bx + c}\]

  • Caso 4: \(Q(x)\) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos:

    \[Q(x) = (a_1x^2 + b_1x + c_1)^r(a_2x^2 + b_2x + c_2)^r\]

    • Pelo Teorema das frações parciais:

      \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int \frac{A_1x + B_1}{a_1x^2+b_1x + c} +\] \[\int \frac{A_2x+B_2}{(a_1x^2+b_1x+c_1)^2}\] \[+ \int \frac{A_rx + B_r}{(a_1x^2 + b_1x + c_1)^r} + \int \frac{A_{m-1}x + B_{m-1}}{a_2x^2 + b_2x + c_2}\] \[+ \int \frac{A_mx + B_m}{(a_2x^2 + b_2x + c_2)^2}\]

Se \(n > m\) ou seja grau (\(P\)) > grau (\(G\)):

É preciso dividir \(Q\) por \(P\) até que o resto \(R(x)\) seja obtido, com grau (\(R\)) < grau (\(Q\))

\[\int \frac{P(x)}{Q(x)} = \int S(x) + \int \frac{R(x)}{Q(x)}\]

Áreas entre as curvas

Como podemos utilizar a integral, para descobrir a área abaixo dos gráficos de funções variadas?

Caso 1:

Seja a função \(y = f(x)\) contínua em [a, b], ademais \(f(x) >= 0\) para \(x \in [a, b]\)

  • A área da região R limitada pela curva \(y = f(x)\) e as retas \(x = a\) e \(x = b\) é:
\[A(R) = \int_{a}^{b} f(x) \ dx\]

Caso 2:

Seja \(f\) e \(g\) contínuas em [a, b] tal que \(f(x) \geq g(x)\) para \(x \in [a, b]\).

  • A área da região R limitada pelas curvas \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) e as retas \(x = a\) e \(x = b\) é:
\[A(R) = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \ dx\]

Observação: Esses dois casos também são válidos para gráficos verticais.