Vamos finalizar o conteúdo relacionado à primeira avaliação de cálculo, abordando o tópico de problemas de otimização.

Este conteúdo é uma aplicação prática dos últimos tópicos relacionados a derivadas e máximos e mínimos de uma função, aplicados a situações reais.

Sumário

Definição

O termo já é autoexplicativo: problemas de otimização envolvem encontrar o valor mais otimizado para um problema, seja o menor ou maior valor.

Assim, analisamos problemas de funções que representam situações reais e avaliamos o valor mínimo ou máximo dessa função, buscando otimizar uma problemática:

  • Máximos: Lucro, área, volume, rendimento…
  • Mínimos: Custo, tempo, distância, material gasto…

E para isso, utilizamos os teoremas que vimos no post anterior, onde a partir da derivada dessa função podemos descobrir qual o ponto máximo ou mínimo.

Em tese, os problemas analisados são funções que possuem um ponto de máximo ou mínimo bem definido.

Abordagens

Diferentemente do que trabalhamos até então, agora temos situações reais que precisam ser traduzidas para a linguagem matemática, a fim de encontrar a função objetivo oculta e, por fim, seu ponto extremo.

1) Identificar Variáveis

Determinar o que pode variar no problema. Essas variáveis podem ser dimensões, quantidades, distâncias, tempo, etc.

  • Exemplo: Em um problema de construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha quadrada de lado \(a\), onde são cortados quadrados de lado \(x\) em cada canto da folha.
  • O valor de \(x\) determina a largura/comprimento e altura da caixa e, consequentemente, seu volume:
\[V = f(x)\]

Sempre busque construir uma função com uma váriavel principal, aquela que define todas as outras.

2) Montar a função objetivo

É preciso encontrar a função oculta no problema, que define o que queremos maximizar ou minimizar.

Pode ser:

  • Lucro \(L(x)\), Custo \(C(x)\), Área \(A(x)\), Volume \(V(x)\)…

Com base no exemplo da caixa anterior, temos que:

  • O volume é o objetivo e sua função é definida por:
    • Altura = x, base = \((a - 2x) \cdot (a - 2x)\)
\[V(x) = x(a - 2x)^2\]

Tudo está escrito em função da váriavel \(x\)

3) Encontrar variável principal

Nem todas as situações apresentam variáveis independentes. Nesse caso, use as condições do problema para tornar as variáveis adicionais em função de apenas uma.

  • Exemplo: Um terreno retangular tem uma área fixa \(A\), se os lados forem \(x\) e \(y\), temos que \(x \cdot y = A\). Logo, \(y = \frac{A}{x}\)

Nesse caso, se a função objetivo for o custo da cerca \(C(x)\):

\[C(x) = 2y + x \to 2\frac{A}{x} + x\]

4) Avaliar o resultado

Existem funções que resultam em mais de um ponto crítico; porém, é preciso avaliar qual faz sentido dentro do contexto da situação.

  • Exemplo: Se uma função de Volume de uma caixa tem ponto crítico em \(x = \frac{5}{3}\) e \(x = 0\), sabemos que se \(x\) for 0 não haverá volume; logo, esse não é um ponto viável.

Na mesma lógica, podemos ter pontos críticos negativos para funções que calculam quantidade produzida ou lucro, e sabemos que isso também não seria um ponto viável.

Por fim, também há situações em que a função tem um domínio limitado, mas o valor da derivada extrapola esse domínio. Nesse caso, o máximo ou mínimo real está na borda mais próxima da derivada.

  • Exemplo: Uma peça metálica deve ter raio \(r\) entre 2cm e 6cm, e a derivada resulta em \(r = 7\) como ponto máximo, logo interpretamos que o máximo real, ocorre na borda \(r = 6\)cm.

Problemas

  • Distância mínima entre ponto e reta

Qual é o ponto da reta \(y = 2x + 1\) mais próximo do ponto \(P(3, 0)\)?

A função em questão é a distância entre dois pontos. Como a equação de distância original envolve raízes, podemos avaliar a minimização da função da distância ao quadrado, que retornará os mesmos pontos críticos.

\[D(x) = \sqrt{(x_2 - 3)^2 + (2x + 1 - 0)^2}\] \[D^2(x) = (x_2 - 3)^2 + (2x + 1 - 0)^2\]

Derivar a segunda função, permite encontrar os mesmos pontos críticos:

\[f'(x) = 2(x - 3) + 4(2x + 1) = 10x - 2\]

Portanto o \(x\) do ponto de menor distância é o valor de \(x\) para o qual essa derivada é 0

\[f'(x) = 0 \to x = 0.2\]

E aplicando a fórmula para encontrar o \(y\), temos que o ponto de menor distância é: \((0.2, 1.4)\)

Idealmente é feito o teste da primeira derivada, para confirmar que \(x\) é o ponto mínimo.

  • Área mínima do retângulo

Dada a função \(f(x) = 3 + \frac{4}{x^2}; x > 0\) temos que dentre todos os retângulos com dois lados sobre os eixos das coordenadas e um dos vértices no gráfico da função, qual é o retângulo com área mínima.

Temos que a função objetivo: \(A(x) = x \cdot (3 + \frac{4}{x^2}) \to 3x + \frac{4}{x}\)

Derivando essa função temos: \(A'(x) = 3 - \frac{4}{x^2}\)

Para encontrar o ponto crítico, avaliamos onde a derivada não existe, nesse caso ela existe para qualquer valor do domínio da função, e avaliamos onde a derivada é igual a 0:

\[A'(x) = 0 \to 3 + \frac{4}{x^2} = 0 \to x = \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Agora verificamos se esse ponto crítico é o ponto de máximo ou mínimo local a partir do teste da primeira derivada, e para facilitar esse teste, podemos transformar a derivada em um produto de frações:

\[3 - \frac{4}{x^2} \to \frac{3(x^2 - \frac{4}{3})}{x^2}\] \[\left(\frac{3}{x^2}\right) \cdot \left(x - \frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(x + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\]

E então avaliando o sinal de cada fator desse produto, dentre os valores entre os extremos do domínio da função e o ponto crítico.

Temos que a função descresce até o ponto \(x = \frac{2}{\sqrt{3}}\) e depois começa a subir.

Logo, esse ponto crítico é o mínimo local da função A e o valor da área é: Aprox. 7cm